Contoh soal pembuktian Matematika Lanjut dengan Induksi

Berikut adalah contoh pembuktian beberapa soal matematika lanjut untuk Kriptografi yang pernah menjadi tugas dari kuliah Matematika Lanjut. Pembuktian dengan metode Induksi.

• Buktikan untuk setiap \(n\)  bilangan bulat positif berlaku \(1 +3+5+...+(2n-1)=n^{2}\)

Jawaban :

1.  Uji untuk nilai \(n\) terkecil, yaitu \(n=1\);  \((2n-1)=n^{2}\Rightarrow (2.1-1) =1^{2}\Rightarrow1=1\) ......(Benar)

2. Asumsikan untuk \(n=k\) , \(k\) bilangan bulat positif,  \(1+2+3+...+(2k-1)=k^{2}\) adalah benar.

3. Buktikan untuk \(n=k+1\) :
\(\Rightarrow 1+2+3+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\),
Dengan memasukkan persamaan pd no. 2  didapat :
\(\Rightarrow k^{2}+(2k+2-1)=k^{2}+2k+1\)
\(\Rightarrow k^{2}+2k+1 = k^{2}+2k+1\)
Jadi terbukti untuk setiap \(n\)  bilangan bulat positif berlaku \(1 +3+5+...+(2n-1)=n^{2}\)

• Buktikan untuk setiap \(n\) bilangan bulat positif dan \(n\geq2\) berlaku : \(5^{n}+9<6^{n}\)

Jawaban :

1. Uji untuk nilai \(n\) terkecil, yaitu \(n=2\),
\(5^{2}+9<6^{2}\Rightarrow 34 < 36\)......(Benar)

2. Asumsikan untuk \(n=k\), \(k\) bilangan bulat positif, \(5^{k}+9<6^{k}\) adalah benar.
\(6(5^{k}+9)<6.6^{k}\) ....(kedua ruas dikalikan 6) didapatkan :
\(6.5^{k}+54<6.6^{k}\)......(Berarti bisa diasumsikan jika ini juga benar).

3.  Buktikan untuk \(n=k+1\) :
\(\Rightarrow 5^{k+1}+9<6^{k+1}\)
\(\Rightarrow 5^{k+1}+9<6^{k}.6^{1}\)
\(\Rightarrow 5^{1}.5^{k}+9<6^{1}.6^{k}\)
\(5.5^{k}+9<6.6^{k}\)
Dari persamaan pada no.2 kita ketahui benar bahwa :
\(6.5^{k}+54<6.6^{k}\)
Berarti ini juga benar bahwa :
\(5.5^{k}+9<6.6^{k}\),
atau bisa dituliskan :
\(5.5^{k}+9<6.5^{k}+54\)
karena :
\(5.5^{k}<6.5^{k}\)  dan \(9<54\)

Jadi terbukti untuk setiap \(n\) bilangan bulat positif dan \(n\geq2\) berlaku \(5^{n}+9<6^{n}\)