Semigroup, Monoid, Group

<<Operasi Biner
Suatu Group \(<G,*>\) terdiri dari himpunan elemen \(G\) bersama dengan operasi biner * yang didefinisikan pada \(G\) dan memenuhi hukum berikut ini:

1. Hukum Tertutup:  \(a*b \in G\) untuk semua \(a,b \in G\),
2. Hukum Assosiatif :  \((a*b)*c=a*(b*c)\) untuk semua \(a,b,c \in G\),
3. Hukum Identitas : terdapatlah suatu elemen \(e\in G\) sehingga \(e*x=x*e=x\) untuk semua \(x \in G\),
4. Hukum Invers : untuk setiap \(a \in G\) terdapatlah \(a^{'} \in G\) sehingga \(a*a^{'}=a^{'}*a=e\).

No	Sifat-sifat Operasi	Operasi Biner	Semi group	Monoid	Group
1.	Ketertutupan	Ya	Ya	Ya	Ya
2.	Assosiatif	Tidak	Ya	Ya	Ya
3.	Elemen Identitas	Tidak	Tidak	Ya	Ya
4.	Semua elemen memiliki Invers	Tidak	Tidak	Tidak	Ya
5.	Komutatif	-	Abelian Semi Group	Abelian Monoid	Abelian Group

Contoh Soal.

Tentukan apakah rangkaian berikut bersamaan dengan operasi biner adalah semigroup,

monoid, atau tidak. Jika monoid, tentukan identitasnya. Jika itu adalah semigroup atau monoid 

tentukan apakah itu bersifat komutatif. 

• \(S=\left\{1,2,3,6,12\right\}\),  dimana \(a*b=GCD\left(a,b\right)\).

Jawaban :

*	1	2	3	6	12
1	1	1	1	1	1
2	1	2	1	2	2
3	1	1	3	3	3
6	1	2	3	6	6
12	1	2	3	6	12

a.  Bersifat Tertutup : \(a*b \in S\) untuk semua \(a,b \in S\)
b.  Bersifat Assosiatif : \(\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)\) untuk semua \(a,b,c\) dalam \(S\),
\(GCD\left(a,GCD\left(b,c\right)\right)=GCD\left(GCD\left(a,b\right),c\right)\)

c. Memiliki Elemen Identitas : terdapatlah suatu elemen \(e\in S\) sehingga \(e*a=a*e=a\) untuk semua \(a \in S\), dari tabel dapat dilihat bahwa \(e=12\).

d.  Bersifat komutatif : \(a*b=b*a\) untuk semua \(a,b\) dalam \(S\)

\(a*b=b*a\Rightarrow GCD\left(a,b\right)=GCD\left(b,a\right)\).
Sehingga \(<S,*>\) merupakan Monoid dan bersifat Komutatif sehingga bisa disebut Abelian Monoid.

• \(S=\left\{1,2,3,6,9,18\right\}\),  dimana \(a*b=LCM\left(a,b\right)\)

Jawaban :

*	1	2	3	6	9	18
1	1	2	3	6	9	18
2	2	2	6	6	18	18
3	3	6	3	6	9	18
6	6	6	6	6	18	18
9	9	18	9	18	9	18
18	18	18	18	18	18	18

a.  Bersifat Tertutup : \(a*b \in S\) untuk semua \(a,b \in S\),
b.  Bersifat Assosiatif : \(\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)\) untuk semua \(a,b,c\) dalam \(S\),
\(LCM\left(a,LCM\left(b,c\right)\right)=LCM\left(LCM\left(a,b\right),c\right)\)

c. Memiliki Elemen Identitas : terdapatlah suatu elemen \(e\in S\) sehingga \(e*a=a*e=a\) untuk semua \(a \in S\), dari tabel dapat dilihat bahwa \(e=1\).

d.  Bersifat komutatif : \(a*b=b*a\) untuk semua \(a,b\) dalam \(S\)

\(a*b=b*a\Rightarrow LCM\left(a,b\right)=LCM\left(b,a\right)\).
Sehingga \(<S,*>\) merupakan Monoid dan bersifat Komutatif sehingga bisa disebut Abelian Monoid.

• \(Z\) dimana  \(a*b=a+b-ab\)

Jawaban :

a.  Bersifat Tertutup : \(a*b \in Z\) untuk semua \(a,b \in Z\), dimana \(a+b \) menghasilkan bilangan bulat, \(ab\) juga menghasilkan bilangan bulat, sehingga \(a+b-ab\) juga bilangan bulat.
b.  Bersifat Assosiatif :  \(\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)\) untuk semua \(a,b,c\) dalam \(Z\),
\((a*b)*c=a*(b*c)\)
\((a*b)*c=(a+b-ab)*c\)
\((a+b-ab)*c=a+b-ab+c-(a+b-ab)c\)
\((a+b-ab)*c=a+b+c-ab-ac-bc+abc\)...........Ruas kiri
\(a*(b*c)=(a*(b+c-bc)\)
\((a*(b+c-bc))=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)\)
\((a*(b+c-bc))=a+b+c-ab-ac-bc+abc\).......Ruas kanan.
Ruas kiri = Ruas kanan.

c. Memiliki Elemen Identitas : 

 \(e*a=a\)

\(e+a-ea=a\)

\(e-ea = 0\)

\(e\left(1-a\right)=0\)

\(e=\frac{0}{1-a}\),  \(e=0\)Jika \(a\neq1\)

d.  Bersifat komutatif : \(a*b=b*a\) untuk semua \(a,b\) dalam \(Z\)

\(a*b=b*a\)
\(a*b=a+b-ab\)
\(b*a=b+a-ba\)
\(a+b-ab=b+a-ba\)
Sehingga \(<Z,*>\) merupakan Monoid dan bersifat Komutatif sehingga bisa disebut Abelian Monoid.

• Diketahui A=B={ x|x adalah bilangan riil dan x \(\neq\) 0 , x \(\neq\) 1. Ditentukan enam buah fungsi dari A ke B dengan formula sebagai berikut : 

\(f_{1}\left(x\right)=x\)	\(f_{2}\left(x\right)=1-x\)	\(f_{3}\left(x\right)=\frac{1}{x}\)
\(f_{4}\left(x\right)=\frac{1}{1-x}\)	\(f_{5}\left(x\right)=\frac{x}{x-1}\)	\(f_{6}\left(x\right)=\frac{x-1}{x}\)

\(G=\left\{f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}\right\}\), dan \(f*g =f\circ g\)

Pertanyaan (jawaban):
a.  Buat tabel Cayley dari \(<G,*>\).

*	\(x\)	\(1-x\)	\(\frac{1}{x}\)	\(\frac{1}{1-x}\)	\(\frac{x}{x-1}\)	\(\frac{x-1}{x}\)
\(x\)	\(x\)	\(1-x\)	\(\frac{1}{x}\)	\(\frac{1}{1-x}\)	\(\frac{x}{x-1}\)	\(\frac{x-1}{x}\)
\(1-x\)	\(1-x\)	\(x\)	\(\frac{x-1}{x}\)	\(\frac{x}{x-1}\)	\(\frac{1}{1-x}\)	\(\frac{1}{x}\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\frac{1}{x}\)	\(\frac{1}{1-x}\)	\(x\)	\(1-x\)	\(\frac{x-1}{x}\)	\(\frac{x}{x-1}\)
\(\frac{1}{1-x}\)	\(\frac{1}{1-x}\)	\(\frac{1}{x}\)	\(\frac{x}{x-1}\)	\(\frac{x-1}{x}\)	\(1-x\)	\(x\)
\(\frac{x}{x-1}\)	\(\frac{x}{x-1}\)	\(\frac{x-1}{x}\)	\(\frac{1}{1-x}\)	\(\frac{1}{x}\)	\(x\)	\(1-x\)
\(\frac{x-1}{x}\)	\(\frac{x-1}{x}\)	\(\frac{x}{x-1}\)	\(1-x\)	\(x\)	\(\frac{1}{x}\)	\(\frac{1}{1-x}\)

Tabel dalam bentuk fungsinya sbb :

*	\(f_{1}\)	\(f_{2}\)	\(f_{3}\)	\(f_{4}\)	\(f_{5}\)	\(f_{6}\)
\(f_{1}\)	\(f_{1}\)	\(f_{2}\)	\(f_{3}\)	\(f_{4}\)	\(f_{5}\)	\(f_{6}\)
\(f_{2}\)	\(f_{2}\)	\(f_{1}\)	\(f_{6}\)	\(f_{5}\)	\(f_{4}\)	\(f_{3}\)
\(f_{3}\)	\(f_{3}\)	\(f_{4}\)	\(f_{1}\)	\(f_{2}\)	\(f_{6}\)	\(f_{5}\)
\(f_{4}\)	\(f_{4}\)	\(f_{3}\)	\(f_{5}\)	\(f_{6}\)	\(f_{2}\)	\(f_{1}\)
\(f_{5}\)	\(f_{5}\)	\(f_{6}\)	\(f_{4}\)	\(f_{3}\)	\(f_{1}\)	\(f_{2}\)
\(f_{6}\)	\(f_{6}\)	\(f_{5}\)	\(f_{2}\)	\(f_{1}\)	\(f_{3}\)	\(f_{4}\)

b. Apakah \(<G,*>\) sebuah Group ? Ya

Karena:

   1. Tertutup : \(a*b \in G\) untuk semua \(a,b \in G\)

   2.  Assosiatif : \(((f \circ g)\circ h)(x) = (f\circ(g\circ h))(x)\)

   3. Memiliki Elemen Identitas.

   4. Memiliki Invers-nya masing-masing.

c. Apakah \(<G,*>\) sebuah Abelian Group? Tidak, karena tidak komutatif.

d. Jika sebuah Group, Apa elemen identitasnya? \(f_{1}\left(x\right)=x\)

e. Jika sebuah Group, Tentukan elemen inversnya masing-masing! \(f^{'}\) adalah fungsi invers.

\(f^{'}_{1}=f_{1}\)

\(f^{'}_{2}=f_{2}\)

\(f^{'}_{3}=f_{3}\)

\(f^{'}_{4}=f_{6}\)

\(f^{'}_{5}=f_{5}\)

\(f^{'}_{6}=f_{4}\).