Bilangan Prima

Berikut adalah berbagai contoh fungsi untuk Bilangan Prima

Mencari Bilangan Polinomial Prima (Irreducible) diantara \(2^{n-1}\) dan \(2^{n}\).

Misalkan kita membutuhkan bilangan Polinomial untuk modulus seperti yang digunakan pada enkripsi AES (\(x^{8} +x^{4}+x^{3}+x+1\)). Terdapat hampir 40-an angka prima diantara \(2^{n-1}\) dan \(2^{n}\) yang bisa dijadikan modulus untuk operasi perkalian polinomial kita.  (\(x^{8} +x^{4}+x^{3}+x+1\)) adalah bilangan yang pertama. Setelah kita mendapatkan bilangan primanya dalam bentuk desimal, kita bisa rubah ke biner lalu ke bentuk polinomial GF(\(2^{n}\)).

Mencari Invers Perkalian dengan Extended Euclidean

Mencari Invers Perkalian dengan Algoritma Extended Euclidean. 

Di bawah ini adalah cara mencari invers Perkalian dengan Algoritma Extended Euclidean, hasilnya disertai langkah-langkah perhitungannya.

Mencari Invers Perkalian Polinomial GF(2^n)

Berikut adalah contoh mencari Invers Perkalian Polinomial pada GF(2^8) dengan menggunakan algoritma Extended Euclidean.

Pada contoh di bawah ini, kita akan menghitung invers perkalian dari \(\left(x^{7}+x+1\right)\bmod \left(x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1\right)\) dengan menggunakan algoritma Extended Euclidean untuk polinomial.

Dari hasil perhitungan di atas di dapatkan hasil dari \(\left(x^{7}+x+1\right)^{-1} = \left(x^{7}\right) \) .
Dapat juga ditulis sebagai berikut : \(\left(x^{7}+x+1\right)\left(x^{7}\right) \equiv 1\left(mod\left(x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1\right)\right)\)

Aritmatika Polinomial pada \(GF(2^{n})\)

Aritmatika Polinomial Modulo (\(x^{3}+x+1\)).

• Penjumlahan

• Perkalian

Cara Lain Aritmatika Polinomial Modulo (\(x^{3}+x+1\)).

• Penjumlahan

• Perkalian

Aritmatika Polinomial Modulo (\(x^{4}+x+1\)).

• Penjumlahan

Aritmatika Polinomial Modulo (\(x^{4}+x+1\)).

• Perkalian

Aritmatika pada GF(\(Z_{p}\)) dan GF(\(Z\))

Berikut adalah contoh untuk menghitung Penjumlahan dan Perkalian pada Modulo tertentu.

Penjumlahan Modulo 7 atau bisa disebut Penjumlahan pada GF(7)

Penjumlahan Modulo n atau bisa disebut Penjumlahan pada GF(n)

Perkalian Modulo 7 atau bisa disebut Perkalian pada GF(7)

Perkalian Modulo n atau bisa disebut Perkalian pada GF(n)

Matriks

Operasi Matriks biasa.

Berikut adalah contoh Operasi Matriks pada Finite Field (GF).. Finite Field yang digunakan harus bilangan prima.

Cara membuat ruang Matriks dengan Finite Field GF(2), jumlah baris 4 dan kolom 8.

Berikut contoh membuat Matriks dengan Ring bilangan bulat (ZZ), matriks bilangan rasional (QQ), atau matriks bilangan real (RR).

Test Elliptic Curve Certicom Patent

Simplified DES

Simplified DES atau S-DES adalah kriptografi yang di desain untuk tujuan edukasi, untuk membantu siswa/mahasiswa mempelajari tentang teknik kriptografi modern. S-DES mempunyai properti dan struktur yang sama seperti DES namun telah disederhanakan sehingga lebih mudah untuk melakukan perhitungan enkripsi dan dekripsi menggunakan pensil dan buku. Setelah mempelajari S-DES maka kita akan mempunyai bayangan yang mudah terhadap kriptografi DES dan block cipher yang lainnya.

Blok Diagram S-DES

DES sendiri adalah sebuah algoritma enkripsi blok dengan kunci simetrik dengan ukuran blok 64-bit dan ukuran kunci 56-bit. DES untuk saat ini sudah dianggap tidak aman lagi. Penyebab utamanya adalah ukuran kuncinya yang sangat pendek (56-bit). DES mempunyai potensi kelemahan terhadap exhaustive key search attack/brute force attack karena panjang kunci yang relatif pendek (hanya 56-bit). Sejak beberapa tahun yang lalu DES telah digantikan oleh Advanced Encryption Standard (AES).

SIMPLIFIED DES (S-DES)

• Block input (plaintext)     : 8-bit
• Block output (ciphertext) : 8-bit
• Panjang Kunci (Key)       : 10-bit
• Round key di-generate dengan permutasi dan left shift
• Enkripsi : Initial Permutation (IP),  Round Function (\(f_{K}\)), Switch Half (SW)
• Dekripsi : sama dengan enkripsi hanya urutan memasukkan Round Key dibalik

Algoritma S-DES menggunakan 5 (lima) buah fungsi : Initial Permutation (IP), Fungsi Kompleks  - \(f_{K}\) (Operasi Ekpand/Permutasi, Xor, Substitusi), Switch (SW), dan Invers Initial Permutation (\(IP^{-1}\)).

OPERASI-OPERASI PADA S-DES.

1. OPERASI PEMBANGKITAN KUNCI

Blok Diagram Key Generation S-DES

    a.  P10 (Permutasi)

         Input    : 1, 2, 3, 4, 5,  6, 7,  8,  9, 10

         Output : 3, 5, 2, 7, 4, 10, 1, 9,  8,  6

    b.  LS-1 (Left Shift 1 Posisi)

         Input    : 1, 2, 3, 4, 5

         Output : 2, 3, 4, 5, 1

    c.  P8 (Pemilihan dan Permutasi)

        Input    : 1, 2, 3, 4, 5,  6, 7,  8,  9, 10

        Output : 6, 3, 7, 4, 8, 5, 10, 9

    d.  LS-2 (Left Shift 2 Posisi)

         Input    : 1, 2, 3, 4, 5

        Output : 3, 4, 5, 1, 2

2. OPERASI ENKRIPSI

    a.  IP (Initial Permutation)

Blok Diagram Enkripsi S-DES

           

        Input    : 1, 2, 3, 4, 5,  6, 7,  8

         Output : 2, 6, 3, 1, 4,  8, 5,  7

    b.  E/P (Expand dan Permutate)

         Input    : 1, 2, 3, 4

        Output : 4, 1, 2, 3, 2,  3, 4,  1

    c. XOR (\(E/P\oplus K_{1}\))

    d.  S-Box (Substitution Box)

Matriks Substitusi S-Box S-DES

        S-Box adalah sebuah matriks substitusi. Kita menggunakan input untuk memilih
        baris-kolom dan nilai pada baris-kolom yang terpilih adalah outputnya.

        Input    : 4-bit (\(bit_{1}, bit_{2}, bit_{3}, bit_{4}\))

                      \(bit_{1}, bit_{4}\) untuk menentukan baris

                      \(bit_{2}, bit_{3}\) untuk menentukan kolom

        Output : 2-bit (diambil dari matriks substitusi yg baris-kolomnya terpilih).

    e.  P4 (Permutasi)

         Input    : 1, 2, 3, 4

         Output : 2, 4, 3, 1

    f.  XOR (Output IP-Left 4 bit XOR Output P4)

    g.  SW (Switch antara Output XOR dengan Output IP-Right)

    h.  \(IP^{-1}\) (Invers Initial Permutation)
         Input    : 1, 2, 3, 4, 5,  6, 7,  8

         Output : 4, 1, 3, 5, 7,  2, 8,  6

3.  OPERASI DESKRIPSI

• Merupakan kebalikan dari Operasi Enkripsi di atas, dengan menggunakan kunci yang sama hanya urutan memasukkan kunci dibalik.

Berikut adalah contoh Simplified Data Encryption Standard (S-DES) dari Buku William Stalling :

• Enkripsi.

• Dekripsi.

Kita bandingkan hasilnya dengan Simplified DES dari Library Sage sebagai berikut :

Berikut cara mencari Invers Permutasi dengan library Sage:

PERBANDINGAN S-DES DAN DES

No	S-DES	DES
1	8-bits block plaintext	64-bits block plaintext
2	10-bits key	56-bits key
3	2 x 8-bits round key	16 x 48-bits round key
4	IP 8-bits	IP 64-bits
5	F operate on 4-bits	F operate on 32-bits
6	2 S-Boxes	8 S-Boxes
7	2 rounds	16 rounds
8	\(C=IP^{-1}(fK_{2}(SW(fK_{1}(IP(P)))))\)	\(C=IP^{-1}(fK_{16}(SW(fK_{15}(SW(...(fK_{1}(IP(P))))))))\)