Aritmatika Polinomial pada Finite Field (GF)

<<Teori Bilangan
Berikut adalah contoh artimatika polinomial (penjumlahan, perkalian dan invers) pada Galois Field (GF) menggunakan Sage:

• \(GF(2^{3})\)

Pertama-tama kita definisikan kembali x dalam \(GF(2^{3})\), setelah itu kita bisa melakukan operasi penjumlahan dan perkalian pada polinomial tersebut seperti di bawah ini:

Setelah kita definisikan x dalam \(GF(2^{3})\), kita bisa melakukan operasi penjumlahan dan perkalian pada polinomial tersebut seperti di bawah ini:

Jika kita hitung secara manual hasil perkalian adalah sebagai berikut:
\(\Rightarrow\)  \((x^{2}+x+1)*(x^{2}+x+1)\)
\(\Rightarrow\)      \((x^{4}+x^{3}+x^{2}\)
                       \(x^{3}+x^{2}+x\)
                                 \(x^{2}+x+1\)
          ----------------------------------------  \(\oplus\)
             \(x^{4}+    0    +x^{2}+0+1\)

Setelah kita dapat \(x^{4}+x^{2}+1\), kita mod m(x) dimana m(x) untuk \(GF(2^{3})\) adalah \(x^{3}+x+1\).

                                    \(x\)
\(\Rightarrow\) \(x^{3}+x+1\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\)
                                  \(x^{4}+x^{2}+x\)
                               ---------------------------  -
                                           \(-x+1\)
                                         = \(x+1\)

• \(GF(2^{8})\)

Pertama-tama kita definisikan kembali x dalam \(GF(2^{8})\), setelah itu kita bisa melakukan operasi penjumlahan dan perkalian pada polinomial tersebut seperti di bawah ini:

Untuk mencari invers maka kita perlu pendefinisian tambahan seperti di bawah ini:

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan di sini bahwa:

1. Sage menggunakan modulus default pada operasi Polinomal pada Finite Field. Modulus default dapat dilihat dengan perintah: R.modulus(). Modulus yang berbeda akan menghasilkan hasil operasai yang berbeda. Be careful!
2. Jika ingin menggunakan modulus buatan sendiri, gunakan perintah seperti di atas.

Next>>