Basic Rings

<<Plotting

Saat menentukan matriks, vektor, atau polinomial, kadang kita perlu mendefiniskannya dalam sebuah ring. Ring adalah konstruksi matematis dimana ada beberapa pengertian tentang penambahan dan perkalian; Ada empat jenis ring yang digunakan dalam Sage:

• Bilangan bulat {..., - 1,0,1,2, ...} {..., - 1,0,1,2, ...}, disebut ZZ,
• Bilangan rasional - yaitu, pecahan, atau rasio, bilangan bulat - disebut QQ,
• Bilangan real, disebut RR,
• Bilangan kompleks, disebut CC.

Kita mungkin perlu mengetahui perbedaan ini karena polinomial yang sama dapat diperlakukan berbeda tergantung pada ring yang ditentukan. Misalnya, polinomial \(x^{2}-2\) memiliki dua akar, \(\pm\sqrt{2}\). Akar-akar itu tidak rasional, jadi jika kita bekerja dengan polinomial dengan koefisien rasional, polinomial tidak akan menjadi faktor. Dengan koefisien riil, maka akan menjadi faktor. Oleh karena itu, kita mungkin ingin menentukan ring itu untuk memastikan bahwa kita mendapatkan informasi yang sesuai dengan harapan kita. Dua perintah berikut mendefinisikan rangkaian polinomial dengan koefisien rasional dan koefisien riil. Perangkat itu diberi nama ratpoly dan realpoly, tapi ini tidak penting divsini; Namun, perhatikan bahwa string ". <t>" dan ". <z>" beri nama variabel yang digunakan dalam dua kasus.

Sekarang kita menggambarkan tentang faktorisasi \(x^{2}-2\):

Hal serupa berlaku untuk matriks: bentuk matriks yang diturunkan dari baris dapat bergantung pada ring di mana matriks tersebut didefinisikan, seperti juga nilai eigen dan vektor eigennya. Untuk lebih lanjut tentang membangun polinomial, lihat polinomial, dan untuk lebih banyak tentang matriks, lihat Aljabar Linier.

Simbol I mewakili akar kuadrat dari -1; I adalah sinonim untuk i. I adalah bilangan kompleks:

Catatan: Kode di atas mungkin tidak bekerja seperti yang diharapkan jika variabel i diberi nilai yang berbeda, misalnya jika digunakan sebagai variabel loop. Jika ini masalahnya, kita dapat mengembalikan nilai i ke default dengan perintah berikut:

Untuk mendapatkan nilai kompleks asli dari i. Ada satu kehalusan dalam mendefinisikan bilangan kompleks: seperti yang disebutkan di atas, simbol i mewakili akar kuadrat -1, tapi ini adalah akar kuadrat formal atau simbolis dari -1. Memanggil CC (i) atau CC.0 mengembalikan akar kuadrat kompleks dari -1. Aritmatika yang melibatkan berbagai jenis angka dimungkinkan oleh apa yang disebut coercion.

Berikut adalah beberapa contoh ring dasar di Sage. Seperti disebutkan di atas, ring bilangan rasional dapat disebut menggunakan QQ, atau juga RationalField () (bidang adalah cincin di mana perkalian bersifat komutatif dan di mana setiap elemen tak-nol memiliki invers dalam ring itu, jadi bentuk penjabarannya bilangan rational, tapi bilangan bulatnya tidak):

Angka desimal 1.2 dianggap berada di QQ: bilangan desimal yang kebetulan juga rasional dapat "dipaksakan" ke angka rasional. Angka π dan 2√2 tidak rasional:

Untuk digunakan dalam matematika yang lebih tinggi, Sage juga tahu tentang ring lainnya, seperti bidang yang terbatas, bilangan bulat \(p\)-adic, ring bilangan aljabar, ring polinomial, dan ring matriks. Berikut adalah beberapa konstruksi dari beberapa ini:

>>Aljabar Linier