Aljabar Linier

<<Basic Rings

Sage menyediakan konstruksi standar dari aljabar linear, misalnya polinomial karakteristik, bentuk eselon, jejak, dekomposisi, dan lain-lain dari matriks. Pembuatan matrik dan perkalian matriks mudah dan alami:

Pada Sage, kita bisa membuat matriks dimana nilai masing-masing baris dan kolomnya merupakan modulus dari nilai yang kita tentukan. Dan juga bisa dalam bentuk finite field (GF)Contohnya sebagai berikut:

Perhatikan bahwa di Sage, kernel dari matriks A adalah "kernel kiri", yaitu ruang vektor dengan wA = 0. Memecahkan persamaan matriks itu mudah, dengan menggunakan metode solve_right. Mengevaluasi A.solve_right (Y) mengembalikan sebuah matriks (atau vektor) X sehingga AX = Y: 

Garis miring terbalik \ dapat digunakan di tempat solve_right; gunakan A \ Y dan bukan A.solve_right (Y). 

Jika tidak ada solusi, Sage mengembalikan kesalahan:

Demikian pula, gunakan A.solve_left (Y) untuk menyelesaikan X di XA =  Y. Sage juga bisa menghitung nilai eigen dan vektor eigen:

(Sintaks untuk output dari eigenvectors_left adalah daftar tiga kali lipat: (eigenvalue, eigenvector, multiplicity).) Nilai eigen dan vektor eigen di atas QQ atau RR juga dapat dihitung dengan menggunakan Maxima (lihat Maxima di bawah).

Seperti dicatat dalam Rings Dasar, ring di mana matriks didefinisikan mempengaruhi beberapa propertinya. Berikut ini, argumen pertama pada perintah matriks memberi tahu Sage untuk melihat matriks sebagai matriks bilangan bulat (kasus ZZ), matriks bilangan rasional (QQ), atau matriks real (RR): 

Untuk menghitung nilai eigen dan vektor eigen dari matriks di atas bilangan floating point bilangan real atau kompleks, matriks harus didefinisikan melalui RDF (Field Real Double Field) atau CDF (Complexs Double Field). Jika tidak ada ring yang ditentukan dan bilangan floating point bilangan real atau kompleks digunakan maka secara default matriks didefinisikan di atas bidang RR atau CC, masing-masing, yang tidak mendukung penghitungan ini untuk semua kasus: 

• Ruang matriks 

Kita dapat membuat marik  \(Mat_{3x3}(Q)\) dengan masukan bilangan rational.

(Untuk menentukan ruang dari 3 dengan 4 matrik, Anda akan menggunakan MatrixSpace (QQ, 3,4). Jika jumlah kolom dihilangkan, defaultnya adalah jumlah baris, jadi MatrixSpace (QQ, 3) adalah sinonim untuk MatrixSpace (QQ, 3,3).) Ruang matrik dilengkapi dengan dasar kanoniknya:

Kita membuat matriks sebagai elemen dari M.

Selanjutnya kita menghitung bentuk eselon baris tereduksi dan kernelnya.

Selanjutnya kita menggambarkan perhitungan matrik yang didefinisikan di atas bidang yang terbatas:

Kita dapat membuat subruang di atas F2 yang direntang oleh baris di atas.

Dasar S yang digunakan oleh Sage diperoleh dari baris non-nol dari bentuk eselon baris tereduksi dari matriks generator S.

• Aljabar Linear Langka

Sage mendukung aljabar linier langka sesuai PID.

Algoritma multi-modular pada Sage bagus untuk matriks bujursangkar (tapi tidak begitu bagus untuk matriks non-kuadrat):

Perhatikan bahwa Python adalah case sensitive:

Polinomial>>